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Programme Collège 3eCours MathématiquesSujet brevet corrigé - Mathématiques 2025 - centres étrangers 1Corrigé Brevet : Sujet brevet corrigé - Mathématiques 2025 - centres étrangers 1Corrigé Brevet Sujet brevet corrigé - Mathématiques 2025 - centres étrangers 1
Sujet brevet : annale 2025 – centre étranger groupe 1
Exercice 1 (20 points)
Attention
Comme indiqué dans le sujet, pas besoin de justifier sur votre copie avec les explications présentes dans ce corrigé.
QUESTION 1
Rappel
Pour obtenir la décomposition en produits de facteurs premiers d’un nombre, on cherche le plus petit nombre premier qui le divise, on effectue cette division, et on recommence avec le nouveau nombre obtenu.
$$ \begin{array}{r|l} 120 & 2\\ 60 & 2\\ 30 & 2\\ 15 & 3\\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array} $$
On a donc $120=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5$.
- La bonne réponse est : « $2^3 \times 3 \times 5$. ».
QUESTION 2
La formule « $= -4 \text{ * A}1 - 12$ » en cellule A2 deviendra étirée en cellule B2 : « $= -4 \text{* B}1 - 12$ ». $$ -4 \times 5 -12 = -20 – 12 = -32$$
- La bonne réponse est : « $-32$ ».
QUESTION 3
Le carré B est du même côté du centre O que le carré A, donc le rapport de l’homothétie est positif.
Le carré B est plus grand que le carré A, donc le rapport de l’homothétie est supérieur à 1.
Le carré B a des mesures deux fois plus grandes que le carré A (par exemple, la diagonale fait 4 carreaux pour B et 2 carreaux pour A), donc le rapport de l’homothétie est 2.
- La bonne réponse est : « $2$ ».
QUESTION 4
Rappel
Factoriser une expression, c’est transformer une somme en produit. On peut utiliser un facteur commun, ou une identité remarquable. $$ka + kb = k(a+b)$$ $$a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$$
Ici on reconnaît l’identité remarquable, avec $a^2 =4x^2$ donc $a=2x$ et $b^2 = 1$, donc $b=1$.
On a donc : $$4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$$
- La bonne réponse est : « $(2x-1)(2x+1)$ ».
QUESTION 5
Rappel
Pour les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, on peut retenir le mot imaginaire « SOHCAHTOA », initiales des formules suivantes : $$\begin{aligned} \sin &= \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypothénuse}}\\ \cos &= \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypothénuse}}\\ \tan &= \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \end{aligned}$$
Le triangle $\text{TER}$ est rectangle en $\text{R}$. Par définition du cosinus, comme rapport du côté adjacent sur l’hypothénuse, on a : $$\cos(\widehat{RET})=\dfrac{RE}{TE}$$ Soit $$RE = \cos(\widehat{RET})\times TE=\cos(39°)\times 7,4 \approx 5,75\ \text{cm}$$On utilise pour ce calcul la calculatrice, et on arrondit comme demandé au centième, au deuxième chiffre après la virgule.
- La bonne réponse est : « $5,75$ ».
Exercice 2 (19 points)
La moyenne est la somme des valeurs divisée par l’effectif, le nombre de valeurs. $$\dfrac{4+9+2+7+11}{5}=\dfrac{33}{5}=6,6$$
La moyenne des masses des colis est donc $6,6\ \text{kg}$.
La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif. En ordonnant les masses des colis on obtient : $$2 \qquad 4 \qquad 7 \qquad 9 \qquad 11$$
La médiane des masses des colis est donc $7\ \text{kg}$.
Il y a $3$ colis sur $5$ qui ont une masse inférieure à $8\ \text{kg}$ : les colis $\text{A}$, $\text{C}$ et $\text{D}$. La probabilité est donc égale à : $$\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}=0,6$$
Le volume d’un pavé droit s’obtient en multipliant sa longueur, sa largeur et sa hauteur. $$V = \text{L} \times \ell \times \text{h}$$ Pour le colis $\text{E}$ : $$\begin{aligned} V_{\text{E}}&=0,5 \times 0,4 \times 0,6 \\ &=0,12\ \text{m}^3 \end{aligned}$$
En appliquant la formule de l’énoncé avec les bonnes unités, on a : $$\dfrac{\text{masse}}{\text{volume}}=\dfrac{11}{0,12}\approx 91,666…$$
En arrondissant au dixième, on trouve bien que la masse volumique du colis $\text{E}$ est $91,7\ \text{kg/m}^3$.
Astuce
Pour ce type de question, il ne faut pas juste donner une réponse, mais plutôt écrire tout le raisonnement et les calculs qui ont été faits, pour à la fin arriver à la réponse finale.
On peut calculer le volume du colis $\text{C]$ : $$V_{\text{C}}=0,3 \times 0,1 \times 0,5=0,015\ \text{m}^3$$ Et sa masse volumique : $$\dfrac{\text{masse}}{\text{volume}}=\dfrac{2}{0,015}\approx 133,333…$$ La masse volumique du colis $\text{C}$ est donc plus grande que celle du colis $\text{E}$ même si ce dernier est plus lourd, le transporteur a donc tort.
Exercice 3 (21 points)
Appliquons le programme au nombre $1$.
- $1$ multiplié par $-2$ : $-2$
- $-2$, auquel on ajoute $4$ : $2$
- $2$ multiplié par $4$ : $8$
Le résultat obtenu avec $1$ comme nombre de départ est bien $8$.
De même, appliquons le programme au nombre $-2$.
- $-2$ multiplié par $-2$ : $4$
- $4$, auquel on ajoute $4$ : $8$
- $8$ multiplié par $4$ : $32$
Le résultat obtenu avec $-2$ comme nombre de départ est $32$.
Appliquons le programme à un nombre noté $x$.
- $x$ multiplié par $-2$ : $-2x$
- $-2x$, auquel on ajoute $4$ : $-2x+4$
- $-2x+4$ multiplié par $4$ : $4 \times (-2x+4) = -8x+16$
Le résultat obtenu par ce programme avec $x$ comme nombre de départ peut bien s’écrire $-8x+16$.
Résolvons l’équation, en isolant l’inconnue $x$.
$$\begin{aligned} -8x+16 &=4\\ -8x &=4 – 16 \qquad \text{en soustrayant } 16 \text{ de chaque côté de l’égalité} \\ -8x &= -12\\ x &= \dfrac{-12}{-8} \qquad \text{en divisant par } -8 \text{ de chaque côté de l’égalité}\\ x &= \dfrac{3}{2}=1,5 \qquad \text{en simplifiant la fraction par } -4 \end{aligned}$$
Cette équation a donc pour solution $x=\dfrac {3}{2}=1,5$.
La partie gauche de cette équation correspond au résultat du programme avec $x$ le nombre de départ. Résoudre cette équation signifie donc trouver les nombres de départ tels qu’on obtienne $4$ comme résultat du programme.
Il faut donc choisir $1,5$ comme nombre de départ pour obtenir $4$ comme résultat.
Rappel
Dans l’équation d’une fonction affine $f(x)=ax+b$,
- $a$ est le coefficient directeur, c’est lui qui détermine la pente de la droite ;
- $b$ est l’ordonnée à l’origine, elle indique l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées, c’est la valeur de $f(0)$.
L’ordonnée à l’origine de cette fonction est $16$. La courbe de la fonction doit donc croiser l’axe des ordonnées à $16$. Cela élimine la représentation graphique 2.
Le coefficient directeur de cette fonction est $-8$. Il est négatif, donc la droite doit « descendre ». Cela élimine la représentation graphique 1.
On peut confirmer qu’il s’agit bien de la représentation graphique 3 avec la pente de $-8$ : quand on se décale de $1$ sur l’axe des abcisses, l’ordonnée doit diminuer de $8$. En lisant graphiquement : à l’abcisse $0$ on a une ordonnée de $16$, et à l’abcisse $1$, on a bien une ordonnée de $16-8=8$.
La représentation graphique correspondant à la fonction $f(x)=-8x+16$ est donc bien la troisième.
Exercice 4 (21 points)
Partie A : étude géométrique du terrain
Le segment $[AC]$ mesure donc bien $750$ mètres.
La droite $(ED)$ est perpendiculaire à la droite $(DC)$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc la droite $(AB)$ est perpendiculaire à la droite $(BC)$. Les points $B$, $D$, et $C$ sont alignés, donc la droite $(DC)$ et la droite $(BC)$ sont la même droite.
- Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc les droites $(ED)$ et $(AB)$ sont parallèles.
Dans le triangle $ABC$, on a $E$ qui appartient à $(AC)$ et $D$ qui appartient à $(BC)$. Les droites $(ED)$ et $(AB)$ sont parallèles d’après la question précédente. On peut donc appliquer le théorème de Thalès qui permet d’écrire l’égalité des rapports suivante :
$$\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{CD}{BC}$$
Astuce
Pour savoir quelles parties de cette égalité utiliser, il faut regarder ce que l’on cherche, et ce que l’on connaît grâce à l’énoncé ou les questions précédentes. $$\dfrac{\textcolor{green}{DE}}{\textcolor{red}{AB}}=\dfrac{EC}{\textcolor{red}{AC}}=\dfrac{\textcolor{red}{CD}}{\textcolor{red}{BC}}$$ $$\dfrac{\textcolor{green}{DE}}{\textcolor{red}{600}}=\dfrac{EC}{\textcolor{red}{750}}=\dfrac{\textcolor{red}{270}}{\textcolor{red}{450}}$$ Ici, on va donc utiliser le premier et le troisième rapport.
On a donc $$\begin{aligned} \dfrac{DE}{AB}&=\dfrac{CD}{BC}\\ DE &=\dfrac{CD}{BC}\times AB \\ DE &=\dfrac{270}{450}\times 600 \\ DE &= 360 \end{aligned}$$
Le segment $[DE]$ mesure bien $360\ \text{m}$.
Partie B : étude du prix du mélange de graines
Comparons les indications au ratio du vendeur.
- Pour le blé : $\frac{80\ \text{kg}}{16}=5 $
- Pour le seigle : $\frac{60\ \text{kg}}{12}=5 $
- Pour les pois : $\frac{50\ \text{kg}}{8}=6,25 $
Le ratio n’est pas respecté, il y a trop de pois.
On peut également voir que dans le ratio du vendeur il y a deux fois plus de blé ($16$) que de pois ($8$), ce qui n’est pas le cas dans l’indication 2.
On peut utiliser un tableau de proportionnalité :
On calcule ainsi la quatrième proportionnelle, le blé nécessaire pour cette surface : $$\dfrac{80 \times 48\,600}{10\,000}=388,8\ \text{kg}$$
À l’aide de l’indication 1, calculons le budget pour le blé : $$1,40 \times 388,80 = 544,32 \ \text{euros}$$
Pour le seigle : $$1,30 \times 291,6 = 379,08\ \text{euros}$$
Pour les pois : $$2,10 \times 243 = 510,30 \ \text{euros}$$
Cela fait un budget total de $$544,32 + 379,08 + 510,30 = 1\,433,7\ \text{euros}$$
Le budget de $1\,500\ \text{euros}$ de l’agriculteur est donc suffisant pour ce projet.
Exercice 5 (19 points)
Léna peut tester par exemple $\text{B}2$ et $\text{A}7$.
Il y a trente codes possibles, de $\text{A}0$ à $\text{C}9$. Dix d’entre eux comportent la lettre $\text{C}$ : $\text{C}0$, $\text{C}1$… $\text{C}9$.
Si la grand-mère de Léna a choisi son code au hasard, la probabilité qu’elle ait choisi la lettre $\text{C}$ est de $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.
De la même manière, il y a trois codes qui comportent le chiffre $7$ : $\text{A}7$, $\text{B}7$ et $\text{C}7$.
La probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi le chiffre $7$ dans son code est de $\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.
Les nombres premiers de $0$ à $9$ sont : $2$, $3$, $5$ et $7$. Cela représente donc $4$ chiffres, qui peuvent associés à chacune des $3$ lettres. Il y a donc $3 \times 4=12$ codes contenant un nombre premier.
La probabilité que le code en contienne un est donc $\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.
Il y a trente codes possibles. Si le test de chaque code prend cinq secondes, tous les essayer prendra $30 \times 5 = 150$ secondes, soit $2$ minutes et $30$ secondes.
Quel que soit le code, Léna réussira à ouvrir la porte de la maison en moins de trois minutes.
La maison est peu sécurisée avec ce code, au vu de la réponse à la question précédente. Pour améliorer ce système de codes, il faudrait qu’il y ait plus de codes possibles, ce qui peut être fait de différentes manières :
- en augmentant le nombre de caractères qui composent le code, au lieu des deux actuels. Par exemple : demander deux lettres et trois chiffres.
- en augmentant le nombre de choix possibles pour chaque caractère. Par exemple : utiliser les lettres de A à Z.
Quand Léa saisit le code $\text{B}5$, c’est la boucle « sinon » qui va être active ; le programme va afficher « Code faux ».
Dans le programme, « Code correct » s’affiche si la condition de la boucle « si » est respectée, c’est-à-dire si le code entré est $\text{B}7$.